Zložená trojčlenka
Zložená trojčlenka je postup riešenia úloh na priamu alebo nepriamu úmernosť, v ktorých poznáme päť navzájom súvisiacich údajov a potrebujeme vypočítať šiesty údaj. Rozdiel medzi jednoduchou trojčlenkou a zloženou trojčlenkou spočíva v počte premenných, ktoré sú v úlohe zahrnuté.
Zložená trojčlenka – postup výpočtu
- Vyplníme číselné hodnoty do zloženej trojčlenky tak, aby hodnoty v stĺpcoch predstavovali rovnaké veličiny vrátane neznámej hodnoty (ktorej hodnotu necháme prázdnu),
- Stanovíme mieru úmernosti vzhľadom na stĺpec s neznámou hodnotou. Priama úmera predstavuje vzťah, ak jedna premenná rastie/klesá, tak druhá zákonite rastie/klesá a nepriama úmera, ak jedna premenná rastie/klesá, druhá klesá/rastie. Úmery znázorňujeme pomocou šípok (↑↓),
- Ak je v skupine údajov (v jednom stĺpci) neznáma hodnota, tak vždy šípka smeruje od neznámej hodnoty smerom k známej,
- Ak majú šípky v skupinách údajov (tzn. v danom stĺpci) rovnaký smer, jedná sa o priamu úmeru (napr. ak mám viac strojov, tak vyrobím aj viac súčiastok),
- Ak majú šípky v skupinách rozdielny smer, hovoríme o nepriamej úmere (napr. ak mám viac strojov, tak čas potrebný na vyrobenie rovnakého počtu súčiastok sa skráti),
- Zloženú trojčlenku riešime ako dve jednoduché trojčlenky, kde si jednu známu skupinu údajov (konkrétny stĺpec) zakryjeme a riešime zvyšnú skupinu známych údajov vždy vzhľadom na neznámu hodnotu,
- Po stanovení úmery klikneme na tlačidlo „Vypočítať“.
Zložená trojčlenka – príklad
Zloženú trojčlenku vieme vypočítať dvoma spôsobmi.
Jedným z nich je pomocou zápisu “postupne” alebo druhý spôsob pomocou “zápisu zloženej trojčlenky”.
Príklad riešenia zloženej trojčlenky “postupne”
Riešenie zloženej trojčlenky formou „postupne“ znamená, že úlohu rozdelíme na menšie časti a riešime ju krok za krokom, pričom postupne vyriešime jednotlivé medzičlánky, ktoré nám umožnia dospieť k finálnemu výsledku.
Príklad: Dvaja maliari namaľovali 150m plotu za 5 hodín. Koľko metrov plotu namaľuje 5 maliarov za 8 hodín?
Riešenie:
Urobíme si zápis zo slovnej úlohy, ktorý bude vyzerať takto:
2 maliari … 150 metrov … 5 hodín
Vypočítajme koľko metrov plotu natrie 1 maliar za 5 hodín:
1 maliar … 75 metrov (150 metrov / 2 maliari) … 5 hodín
Vypočítame koľko metrov plotu natrie jeden maliar za 1 hodinu:
1 maliar … 15 metrov (75 metrov / 5 hodín) … 1 hodina
Slovná úloha sa pýta koľko metrov plotu namaľuje 5 maliarov za 8 hodín, čiže ak:
5 maliarov … 75 metrov (5 maliarov x 15 metrov) … 1 hodina
potom:
5 maliarov … 600 metrov (75 metrov x 5 maliarov) … 8 hodín
Výsledok: 5 maliarov namaľuje za 8 hodín 600 metrov plotu.
Príklad riešenia pomocou zápisu zloženej trojčlenky
Berme v úvahu rovnaký príklad. Zápis pomocou zloženej trojčlenky bude vyzerať takto:
2 maliari … 150 metrov … 5 hodín
5 maliarov … X metrov … 8 hodín
Všimnime si, že rovnaké veličiny sú zapísané v stĺpoch pod sebou; maliari, metre a hodiny.
Najprv si označme správny smer šípky pri neznámej hodnote „X“. Platí, že šípka ide smerom od neznámej hodnote k známej v danej skupine údajov. Zápis teda bude vyzerať takto:
2 maliari … ↑ 150 metrov … 5 hodín
5 maliarov … ↑ X metrov … 8 hodín
Pre správnosť výsledku určíme, či sa jedná o priamu alebo nepriamu úmeru. Podľa postupu výpočtu určíme úmeru rozdelením zloženej trojčlenky na dve jednoduché trojčlenky.
- zakryme si pravú stranu zloženej trojčlenky s veličinou času – tú teraz neberieme do úvahy,
- určíme úmeru prvej jednoduchej trojčlenky vzhľadom na neznámu “X”, kde sa pýtame:
Ak 2 maliari namaľujú 150 metrov plotu za nejaký čas, tak koľko metrov plotu namaľuje 5 maliarov za ten istý čas? Logicky viac -> čím viac maliarov, tým viac plotu natrú. Jedná sa o priamu úmeru:
↑ 2 maliari … ↑ 150 metrov … 5 hodín
↑ 5 maliarov … ↑ X metrov … 8 hodín
- teraz si zakryme ľavú stranu zloženej trojčlenky s veličinou maliarov, ktorej úmeru sme vypočítali v predchádzajúcom bode vzhľadom na neznámu hodnotu “X”,
- určíme úmeru druhej jednoduchej trojčlenky vzhľadom na neznámu hodnotu “X”, kde sa pýtame:
Ak nejaký počet maliarov namaľuje 150 metrov plotu za 5 hodín, tak koľko metrov namaľuje ten istý počet maliarov za 8 hodín? Logicky opäť viac -> rovnaký počet maliarov by za viac času namaľoval viac metrov plotu. Jedná sa o priamu úmeru.
V tomto prípade vzhľadom na neznámu “X” je medzi skupinami údajov priama úmera, čiže šípky by smerovali od “spodných” hodnôt smerom “hore”:
↑ 2 maliari … ↑ 150 metrov … ↑ 5 hodín
↑ 5 maliarov … ↑ X metrov … ↑ 8 hodín
Keďže smer šípky úmery začína od neznámej hodnoty “X”, potom “X” sa vždy rovná číslu v danej skupine vynásobené o zvyšné stĺpce v poradí šípok.
Zápis by vyzeral takto:
X = 150 x 5/2 x 8/5 = 150 x 40/10 = 600
Výsledok: 5 maliarov natrie za 8 hodín 600 metrov plotu.
Zložená trojčlenka riešené príklady
Príklad na nepriamu úmeru:
Plot okolo domu natieralo 15 natieračov. Práca im trvala 280 minút.
Za koľko minút by natrelo polovicu toho istého plota 12 natieračov?
Riešenie:
↑ 280 minút … ↓ 15 hodín … ↑ 1 plot
↑ x minút … ↓ 12 hodín … ↑ 0,5 plota
Zápis v smere šípok:
x / 280 = (15/12) * (0,5/1)
x = 280 * (15/12) * (0,5/1)
x = 175
Výsledok: Polovicu plota by 12 natieračov natrelo za 175 minút.
Príklad na nepriamu úmeru so skupinami v inom poradí:
Príklad vyššie môžeme zapísať aj výmenou skupín údajov:
↑ 280 minút … ↑ 1 plot … ↓ 15 hodín
↑ x minút … ↑ 0,5 plota … ↓ 12 hodín
Zápis v smere šípok:
x / 280 = (0,5/1) * (15/12)
x = 280 *(0,5/1) * (15/12)
x = 175
Príklad na nepriamu úmeru s neznámou „x“ v hornom riadku v danej skupine:
Príklad vyššie môžeme zapísať aj s neznámou „x“ v hornom riadku, kde musíme dbať na to, aby šípka úmery vždy išla smerom od neznámej hodnoty smerom k známej:
↓ x minút … ↓ 0,5 plota … ↑ 12 hodín
↓ 280 minút … ↓ 1 plot … ↑ 15 hodín
Zápis v smere šípok:
x / 280 = (0,5/1) * (15/12)
x = 280 * (0,5/1) * (15/12)
x = 175
Zdroje:
- DZURUSOVÁ, Anna – HLÁSNIKOVÁ, Jaroslava – KASENČÁKOVÁ, Mariana – KRAJŇÁK, Vladimír – PODPĚRA, Jan – POLÁČIKOVÁ, Katarína. Hravá matematika – Pracovný zošit pre 7. ročník ZŠ a sekundu GOŠ. 132 s. ISBN 978-80-89530-52-6
- ŽABKA, Ján – ČERNEK, Pavol. 2011. Matematika pre 7. ročník ZŠ a 2. ročník gymnázií s osemročným štúdiom. 1. vyd. Bratislava: Orbis Pictus Istropolitana, 2011. 136 s. ISBN 978-80-8120-050-2
- Riešené príklady na zloženú trojčlenku: https://testokazi.sk/priklady/matematika-riesene-priklady/priklady-pre-7-rocnik/priama-a-nepriama-umernost/riesene-priklady-na-zlozenu-trojclenku
- ČERETKOVÁ, Soňa – ŠEDIVÝ, Ondrej – TEPLIČKA, Ivan. matematika pre 7.ročník základnej školy a 2. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. Prvé vydanie Bratislava: Mladé letá, 2022. 96 s. ISBN 978-80-10-03882-4