Doba kyvu kyvadla (kalkulačka)
Zadajte dĺžku kyvadla a okamžite zistite dobu jedného polokyvu (τ) a celého kyvu (kmitu) (T).
Kyvadlo
Vzdialenosť guľôčky zavesenej na niti od rovnovážnej polohy sa nazýva výkyv, najväčší výkyv (do krajnej polohy) je rozkyv.
Keď pustíme guľôčku zavesenú na niti z krajnej polohy, guľôčka sa kýve.
Pohyb z jednej krajnej polohy do druhej sa volá kyv.
Dva po sebe nasledujúce kyvy tvoria celý kmit (guľôčka sa vráti do pôvodnej polohy).
Čas, za ktorý sa guľôčka dostane z jednej krajnej polohy do druhej, nazývame doba kyvu (τ – grécke písmeno tau).
Keď namiesto guľôčky použijeme nádobku s pieskom, ktorý sa z nej rovnomerne sype, utvorí sa na podložke stopa. Podľa stopy zistíme, že nádobka vykonáva periodický pohyb na priamke. Keď ťaháme podložku kolmo na rovinu, v ktorej sa kyvadlo káve, utvorí sa na podložke stopa v tvare sínusoidy:
Pohyb kyvadla pri malých výchylkách je harmonický pohyb.
Keď môžeme zavesené teleso pokladať za hmotný bod a zanedbať vplyv závesu, dostaneme zjednodušené kyvadlo, tzv. matematické.
Vzorec doby kyvu kyvadla
Dobu kyvu matematického kyvadla pri malých rozkyvoch vyjadruje vzťah:
τ = π√(l / g)
Kde:
- l je dĺžka kyvadla v metroch,
- g je tiažové zrýchlenie (na Zemi približne 9,81 m/s2),
Doba kyvu matematického kyvadla teda nezávisí od hmotnosti kývajúceho sa bodu, ani od rozkyvu (ak rozkyv nie je veľmi veľký – výchylka vlákna je menšia ako 10°), ale závisí len od dĺžky kyvadla a tiažového zrýchlenia.
Závislosť doby kyvu od g využívame na meranie tiažového zrýchlenia na istom mieste, lebo dĺžku l a dobu kyvu τ matematického kyvadla možno ľahko merať. Kyvadlo sa najčastejšie používa na reguláciu chodu hodín.
Keď zavesíme napr. oceľovú guľôčku na niť dĺžky 1 m (meriame ju od bodu zavesenia po stred guľôčky), ľahko sa výpočtom aj pokusom presvedčíme, že doby kyvu sa rovná približne 1s.
Sekundové kyvadlo je kyvadlo dĺžky 1 m.
Príklad na dobu kyvadla
Máme oceľovú guľôčku zavesenú na niti dĺžky l = 1 m. Gravitačné zrýchlenie na Zemi je g = 9,81 m/s2. Určíme dobu kyvu τ (čas, za ktorý sa guľôčka dostane z jednej krajnej polohy do druhej).
Riešenie:
Vzorec pre dobu kyvu matematického kyvadla pri malých výkyvoch:
τ = π√(l / g) = π√(1 / 9,81) ≈ π * 0,319 ≈ 1,00 s
Výsledok:
- Doba kyvu (τ): 1,00 s
- Doba celého kyvu (T = 2τ): 2,00 s
Toto kyvadlo sa nazýva sekundové kyvadlo, pretože jeden kyv trvá približne 1 sekundu.
Doba kyvu pre bežné dĺžky kyvadla
Nasledujúca tabuľka ukazuje, ako dlho trvá polokyv (τ) a celý kmit (T) pri niekoľkých bežných dĺžkach kyvadla (počítané pre g = 9,81 m/s²):
| Dĺžka kyvadla (l) | Doba kyvu (τ) | Doba kmitu (T) |
|---|---|---|
| 0,25 m | 0,50 s | 1,00 s |
| 0,5 m | 0,71 s | 1,42 s |
| 1 m (sekundové kyvadlo) | 1,00 s | 2,00 s |
| 2 m | 1,42 s | 2,84 s |
| 5 m | 2,24 s | 4,48 s |
| 10 m | 3,17 s | 6,34 s |
Hodnoty potvrdzujú, že doba kyvu rastie s dĺžkou kyvadla, ale nie priamo úmerne – pri štvornásobnej dĺžke (napr. z 0,25 m na 1 m) sa doba kyvu len zdvojnásobí, keďže vo vzorci vystupuje odmocnina z dĺžky.
Najčastejšie chyby pri výpočte
- použitie iných jednotiek dĺžky než metre (napr. cm alebo mm) bez prevodu,
- niektoré knihy používajú τ (tau) pre polokyvy, iné T pre celý kyv,
- vzorec τ = π√(l / g) platí len pre malé výchylky (pri väčších výchylkách sa doba kyvu zväčšuje – ak sa toto ignoruje, výpočet je nepresný),
- zanedbanie dĺžky kyvadla – dĺžka kyvadla sa meria od bodu zavesenia po stred závažia, nie po spodok guľôčky,
- nepresné meranie času,
- ignorovanie okrajových vplyvov – odpor vzduchu, trenie závesu.
Využitie poznatku doby kyvu kyvadla
- používalo sa historicky v kyvadlových hodinách na presné meranie času,
- je základom mechanických oscilátorov v hodinách,
- v štúdiu harmonického pohybu vo fyzike (kmitavé systémy), inžinierstve (meranie a regulácia kmitov) a výskume materiálov (oscilácie pri skúmaní pružín, kyvov, mechanických systémov)
- v školstve pri demonštrácii periodických pohybov, prepojenie dĺžky a doby kyvu, zobrazenie pohybu pomocou sínusoidy.
Najčastejšie kladené otázky (FAQ)
Áno, ale len zvýšením odporu vzduchu alebo pridaním malého závažia na kyvadlo. Základný vzorec však platí len pre ideálne podmienky, takže praktický vplyv je malý.
Dĺžka sa meria od osi zavesenia po stred závažia. Meranie po spodok závažia alebo so zakrivením vlákna vedie k chybám.
Pretože pri malých výchylkách platí lineárny vzťah medzi silou a vychýlením, čo umožňuje použiť jednoduchý vzorec pre dobu kyvu.
Ak sledujeme polohu kyvadla v čase, stopa pohybu vytvára tvar sínusoidy, čo vizualizuje harmonický pohyb a frekvenciu kyvu.
Súvisiace kalkulačky
- Výpočet frekvencie (kmitočtu)
- Voľný pád (kalkulačka)
- Odstredivá sila kalkulačka
- Okamžitá rýchlosť (kalkulačka)
Zhrnutie
- Doba kyvu (τ) je čas, za ktorý sa kyvadlo dostane z jednej krajnej polohy do druhej; doba celého kmitu (T) je dvojnásobná, T = 2τ.
- Dobu kyvu matematického kyvadla pri malých výchylkách vypočítame ako τ = π√(l / g) – závisí len od dĺžky kyvadla l a tiažového zrýchlenia g, nie od hmotnosti ani (pri malých výchylkách) od veľkosti rozkyvu.
- Kyvadlo s dĺžkou presne 1 m sa nazýva sekundové kyvadlo, pretože jeho doba kyvu je približne 1 sekunda.
- Vzorec platí len pre malé výchylky (do ~10°) a zanedbáva odpor vzduchu a trenie závesu – pri väčších výchylkách alebo pri reálnom (fyzickom) kyvadle treba počítať s odchýlkami.
- Vďaka jednoduchému vzťahu medzi dĺžkou a dobou kyvu sa kyvadlo historicky používalo na reguláciu chodu hodín a dodnes slúži aj na orientačné meranie tiažového zrýchlenia.
Zdroje:
- VACHEK, Jaroslav. Fyzika, prehľad učiva základnej školy, 1. vydanie. 1979. 328 s. Vydalo Slovenské pedagogické nakladateľstvo v Bratislave. 67-445-79
- HALLIDAY, David – RESNICK, Robert – WALKER, Jearl, Fundamentals of Physics. 12th edition. Published 2020. 1536 pages. ISBN 978-1-119-77351-1
- Pendulum (mechanics): https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics)