Faktoriál kalkulačka

Kalkulačka vypočíta faktoriál čísla – teda výsledok, ktorý vznikne súčinom všetkých prirodzených čísel od 1 po n.

Ako vypočítať faktoriál

Do kalkulačky zadáme:

• prirodzené (kladné) číslo,
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta faktoriál prirodzeného čísla.

Čo je faktoriál čísla

V matematike ním označujeme súčin všetkých prirodzených čísel od 1 po n. Zapisujeme ho ako n! a čítame ako „n faktoriál“.

Platí, že 0! = 1.

Faktoriály používame napríklad pri počítaní rôznych možností usporiadania vecí alebo pri riešení úloh z pravdepodobnosti napr.:

• Koľkými spôsobmi môžeš usporiadať 5 kníh?
• Koľko rôznych spôsobov existuje na usadenie 4 ľudí okolo stola?

Zjednodušene povedané, faktoriál nám povie, koľkými rôznymi spôsobmi môžeme niečo usporiadať alebo vybrať.

V matematike poznáme aj tzv.:

• dvojfaktoriály (označujeme n!!), v ktorom činitele znižujeme po dvoch namiesto po jednom. Napr. 6!! = 6 * 4 * 2 = 48,
• multifaktoriály (označujeme n!^(k)), ktoré zovšeobecňujeme podobne ako dvojfaktoriály,
• superfaktoriály (označujeme sf(n)), ktoré označujú súčin všetkých faktoriálov on n po 1. Napr. sf(5) = 5! * 4! * 3! * 2! * 1! – 34560,
• hyperfaktoriály (označujeme H(n)), ktoré označujú súčin mocnín všetkých čísel od nⁿ po 1. Napr. H(5) = 5⁵ * 4⁴ * 3³ * 2² * 1¹ = 3125 * 256 * 27 * 4 * 1 = 8 640 000

Faktoriál vzorec

n! = n * (n -1) * (n-2) * … * 2 * 1

Vo vzorci faktoriál nikdy nezahŕňame násobenie nulou, pretože definícia 0! je samostatná a slúži na zachovanie konzistencie v kombinatorike a iných oblastiach.

Ak by sme chceli vypočítať faktoriál 5!, tak podľa vzorca:

5! = 5 * (5-1) * (5-2) * (5-3) * (5-4) * (5-5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Tabuľka faktoriálov od 0 do 20

Faktoriály čísel od 0 po 20 sa často používajú v matematike, kombinatorike, programovaní či fyzike. Táto tabuľka nám umožní rýchlo nájsť hodnotu faktoriálu bez potreby výpočtu. Stačí nájsť požadované číslo a pozrieť si jeho faktoriál.

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Faktoriál príklady

Príklad z kombinatoriky

Chceme vedieť, koľkými rôznymi spôsobmi vieme usporiadať 3 knihy na poličke.

Riešenie:

Dosadíme do vzorca pre výpočet faktoriálu.

n! = n * (n -1) * (n-2) * … * 2 * 1

3! = 3 * 2 * 1 = 6

Výsledok:

Počet usporiadaní na poličke 3 kníh je 6 možných usporiadaní.

Povedzme, že knihy majú červený, modrý a žltý obal. Možnosti by teda boli:

• Červená, Modrá, Žltá,
• Červená, Žltá, Modrá
• Modrá, Červená, Žltá
• Modrá, Žltá, Červená
• Žltá, Červená, Modrá
• Žltá, Modrá, Červená

Príklad z pravdepodobnosti

V lotérii si vyberáme 6 čísel zo 49. Koľko rôznych kombinácií výberu môže vzniknúť?

Riešenie:

Používame vzorec:

(n!) / (k! * (n – k)!)

Tento vzorec sa používa na výpočet počtu kombinácií, teda výberov bez opakovania, kde nezáleží na poradí vybraných prvkov.

kde:

• n – celkový počet prvkov, z ktorých vyberáme (napr. počet čísel v lotérii, počet kníh, hráčov),
• k – počet prvkov, ktoré vyberáme (napr. koľko čísel si vyberáš, koľko kníh chceš dať do zostavy),
• n!– faktoriál čísla n, teda súčin všetkých prirodzených čísel od 1 po n,
• k! – faktoriál čísla k, teda súčin všetkých prirodzených čísel od 1 po k,
• (n−k)! – faktoriál rozdielu n−k, teda súčin všetkých prirodzených čísel od 1 po n−k.

Dosadíme do vzorca:

(49!) / 6! * (49 – 6)! = 13 983 816

Výsledok: Existuje 13 983 816 všetkých možných kombinácií, ktorými môžeme vybrať 6 čísel zo 49 (bez opakovania a nezáleží na poradí).

Bonus: Ak by sme chceli vypočítať pravdepodobnosť, že uhádneme všetkých 6 čísel z lotérie, tak vypočítame:

1 / 13 983 816 ≈ 0,0000000715

0,0000000715 * 100 = 0,00000715%

Výsledok: Šanca že by sme uhádli 6 čísel zo 49 pri lotérii je 0,00000715%. Inak povedané, je šanca 1 ku 13 983 816, že trafíme 6 vyžrebovaných čísel zo 49.

Príklad Taylorovho radu

Taylorov rad používame na približné výpočty zložitých funkcií, napríklad goniometrických funkcií ako sin(x), ak nie je k dispozícii kalkulačka alebo počítač.

Príklad: Vypočítajme hodnotu funkcie sin(x) pre x=π / 6 (tzn. 30°) pomocou Taylorovho radu s tromi členmi.

Vzorec:

Taylorov rad pre sin(x) ≈ x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + …

Riešenie:

Dosadíme hodnotu x = π / 6 = 0,5236 (výpočet je v radiánoch, tzn. približne 3,14 / 6 čo predstavuje uhol) do vzorca:

sin (π / 6) ≈ sin (0,5236) ≈ 0,5236 – 0,5236³/3! + 0,5236⁵/5! ≈ 0,5236 – 0,1435/6 + 0,0394 / 120 ≈ 0,5236 – 0,0239 + 0,00033 ≈ 0,50003

sin(0,5236) = 0,5

Výsledok porovnáme s reálnou hodnotou:

sin (π / 6) = 0,5 (tzn. 30°) versus 0,50003. Rozdiel je 0,0003, čiže môžeme vidieť je sa hodnota veľmi blíži k pôvodnej hodnote a práve v tomto spočíva sila Taylorovho radu pri numerických výpočtoch – čím viac členov by sme počítali, tým by bola väčšia presnosť a menší rozdiel.

Príklad z programovania hier

Ak by sme chceli napísať program hádanky, z ktorého môže hráč usporiadať tri rôzne objekty v hre, tak sa použije počet permutácií 3! = 6

Riešením by bolo, že hráč v hre môže usporiadať objekty 6 možnými spôsobmi (pozri napr. podobný príklad z kombinatoriky vyššie).

Často kladené otázky (FAQ)

Súvisiace kalkulačky

• Mocniny a odmocniny
• Aritmetický priemer
• Vážený priemer
• Geometrický priemer
• Harmonický priemer
• Generátor čísel

Zdroje:

• Faktoriál: https://sk.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1l
• Superfaktoriál: https://sk.wikipedia.org/wiki/Superfaktori%C3%A1l
• Hyperfaktoriál: https://sk.wikipedia.org/wiki/Hyperfaktori%C3%A1l
• Taylorov rad: https://sk.wikipedia.org/wiki/Taylorov_rad