Magnetická indukcia (kalkulačka)

Táto stránka obsahuje tri online kalkulačky zamerané na výpočet magnetickej indukcie v rôznych situáciách — zo sily, prúdu a dĺžky vodiča, pri priamom vodiči aj pri cievke — s automatickým prevodom jednotiek. Hodnoty môžete zadať v jednotkách, ktoré vám vyhovujú, a výsledok sa zobrazí vo zvolenej jednotke.

Kalkulačka magnetickej indukcie zo sily, prúdu a dĺžky vodiča

Kalkulačka magnetickej indukcie vodiča s prúdom

Kalkulačka magnetickej indukcie cievky (solenoidu)

Čo je magnetická indukcia

Magnetická indukcia je fyzikálna veličina, ktorá kvantitatívne opisuje magnetické pole – udáva, aké silné je pole v danom mieste a akým smerom pôsobí.

V homogénnom magnetickom poli (kde má magnetická indukcia rovnakú veľkosť aj smer vo všetkých miestach) je magnetická indukcia určená podielom sily, ktorá pôsobí na priamy vodič s prúdom kolmý na indukčné čiary, a súčinom prúdu a aktívnej dĺžky vodiča (časti vodiča, ktorá sa nachádza v magnetickom poli).

Ako vypočítať magnetickú indukciu zo sily, prúdu a dĺžky vodiča

Do kalkulačky zadáme:

silu pôsobiacu na vodič v newtonoch (mN, N alebo kN),
elektrický prúd vo vodiči v ampéroch (mA alebo A),
dĺžku vodiča v magnetickom poli (v mm, cm, dm alebo m),
uhol medzi smerom prúdu a magnetických siločiar (uhol α 0° až 180°),
klikneme na tlačidlo „Vypočítať„,
kalkulačka prevedie všetky hodnoty na SI jednotky a vypočíta magnetickú indukciu,
voliteľne: ak je neznámou iná veličina (sila, prúd, dĺžka alebo uhol), zadajte ostatné hodnoty a kalkulačka ju dopočíta a zobrazí vo zvolenej jednotke.

Vzorec magnetickej indukcie zo sily, prúdu a dĺžky vodiča

Sila F, ktorá pôsobí v homogénnom magnetickom poli na priamy vodič s prúdom I, je priamo úmerná tomuto prúdu a priamo úmerná veličine sin α, kde α je uhol zovretý osou priameho vodiča a smerom indukčných čiar magnetického poľa.

Ďalej je sila F priamo úmerná dĺžke vodiča, ktorá zasahuje do magnetického poľa. Túto dĺžku nazývame aktívnou dĺžkou l vodiča.

Veľkosť sily závisí od dĺžky vodiča, ktorá je kolmá na smer indukčných čiar, čo sa vyjadruje ako l sin α.

Magnetická indukcia. Zdroj: Vlastné spracovanie podľa: FUKA, Josef – KLIMEŠ, Bohdan – LEPIL, Oldřich – ŠIROKÝ, Jaromír – VANÝSEK, Vladimír – RUDOLF, Vladimír. Fyzika pro III. ročník střední všeobecně vzdělávací školy (pro III. a IV. ročník gymnázia). 208 stran. 9. vydání. Státní pedagogické nakladatelství, n.p., 1965. 14-622-79

Magnetickú indukciu označíme B a silu v magnetickom poli vyjadríme výrazom:

F = B I l sin α

ktorý pre prípad priameho vodiča kolmého na indukčné čiary (α = 90°) zjednoduší na tvar:

F = B I l

Odtiaľ magnetickú indukciu vypočítame ako:

B = F / (I * l * sin α)

alebo pre priamy vodič kolmý na indukčné čiary (sin α = 1)

B = F / (I * l)

Z tejto rovnice odvodíme jednotku magnetickej indukcie. Ak je:

sila F = 1 N,
prúd I = 1 A,
aktívna dĺžka l vodiča = 1 m, tak:

Magnetická indukcia (B) = 1 N / (1 A * 1 m) = 1 T

Jednotku nazývame tesla a značíme T (pomenovaná na počesť Nikolu Teslu, srbsko-amerického vynálezcu a elektrotechnika).

Homogénne magnetické pole má magnetickú indukciu 1 T vtedy, ak na priamy vodič s aktívnou dĺžkou 1 metra, ktorý je kolmý na indukčné čiary a prechádza ním stály prúd 1 A, pôsobí silou 1 N.

Magnetická indukcia je vektorová veličina a má smer dotyčnice k príslušnej indukčnej čiare.

Smer vektora magnetickej indukcie môžeme určiť aj pomocou vodiča s prúdom: ak vodič natočíme tak, že naň magnetické pole nepôsobí žiadnou silou (α = 0°), leží vodič práve v smere magnetickej indukcie. Jednoduchšie to ukáže magnetka – v magnetickom poli sa vždy natočí do smeru magnetickej indukcie a jej severný pól ukazuje orientáciu vektora B.

Príklad výpočtu magnetickej indukcie zo sily, prúdu a dĺžky vodiča

Zvislým vodičom s dĺžkou 2 m prechádza prúd 50 A. Akou veľkou silou na neho pôsobí magnetické pole Zeme (horizontálna zložka magnetickej indukcie magnetického poľa Zeme je 2*10^-5 T)

Riešenie:

Vodič je zvislý, a preto je kolmý na horizontálnu zložku magnetického poľa Zeme (α = 90°, sin α = 1). Využijeme vzorec magnetickej indukcie B = F / (I * l), odkiaľ F = B I l

F = 2*10^-5 * 50 * 2 = 2*10^-3 N

Výsledok: Sila pôsobiaca na vodič je 2*10^-3 (0,002) N.

Interpretácia výsledku:

na vodič s prúdom, ktorý sa nachádza v magnetickom poli Zeme, pôsobí magnetická sila,
táto sila je kolmá na vodič aj na smer magnetického poľa – jej smer určíme Flemingovým pravidlom ľavej ruky,
sila je veľmi malá (0,002 N) – približne ako tiaž predmetu s hmotnosťou 0,2 gramu, takže vodičom viditeľne nepohne.

Využitie magnetickej indukcie

overovanie a kalibrácia magnetov, elektromagnetov a cievok – napr. meranie kvality permanentných magnetov, testovanie elektromagnetov alebo pre porovnanie dvoch magnetických zdrojov,
výpočty v priemysle a elektrotechnike – používame pri návrhu elektromotorov, generátorov, magnetických bŕzd, ale aj relé (spínacia súčiastka) a solenoidov (cievok drôtu, ktoré pri prechode elektrického prúdu vytvárajú magnetické pole),
analýza bezpečnosti a namáhania vodičov – zisťujeme, či vodič zvládne mechanické namáhanie, poškodenie alebo vibrácie napr. v elektrických rozvodniach, transformátoroch alebo vysokoprúdových aplikáciách.

Čo je magnetická indukcia vodiča s prúdom

Magnetická indukcia vodiča s prúdom vyjadruje silu (veľkosť) magnetického poľa, ktoré vzniká v okolí priameho vodiča, ktorým preteká elektrický prúd. Ide o fyzikálnu veličinu označovanú symbolom B, ktorá určuje, akou silou magnetické pole pôsobí na iné vodiče, častice alebo magnetické materiály v danom mieste priestoru.

Ak vodičom prechádza elektrický prúd, okolo vodiča sa vytvára magnetické pole s kruhovými indukčnými čiarami. Veľkosť magnetickej indukcie závisí najmä od:

veľkosti elektrického prúdu vo vodiči,
vzdialenosti od vodiča,
vlastností prostredia (vo vákuu a vzduchu je daná magnetickou konštantou μ₀).

Magnetická indukcia sa udáva v jednotkách tesla (T) a je to základná veličina používaná pri návrhu elektrických zariadení, elektromotorov, vedení vysokých prúdov či magnetických senzorov.

Ako vypočítať magnetickú indukciu vodiča s prúdom

Pri výpočte magnetickej indukcie pri dlhom priamom vodiči postupujeme nasledovne:

Do kalkulačky zadáme dve z troch známych hodnôt:

elektrický prúd vo vodiči v ampéroch alebo miliampéroch,
vzdialenosť od vodiča (v mm, cm, dm alebo m), v ktorej chceme určiť magnetickú indukciu,
magnetickú indukciu v μT, mT alebo T,
klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
kalkulačka vypočíta magnetickú indukciu, elektrický prúd alebo vzdialenosť od vodiča podľa zadaných údajov a výsledok zobrazí vo zvolenej jednotke.

Vzorec magnetickej indukcie vodiča s prúdom

Základný vzorec:

B = (μ₀ * I) / (2 * π * r)

Kde:

B je magnetická indukcia (tesla, T),
μ₀ je magnetická konštanta 4π * 10⁻⁷ N/A²,
I je elektrický prúd vo vodiči (A),
r je vzdialenosť od vodiča (m).

Zo vzorca môžeme pozorovať, že magnetická indukcia:

rastie s prúdom,
klesá so vzdialenosťou od vodiča,
je nepriamoúmerná vzdialenosti – v dvojnásobnej vzdialenosti od vodiča je polovičná.

Príklad pre výpočet magnetickej indukcie vodiča s prúdom

Priamym dlhým vodičom preteká elektrický prúd I = 20 A. Určme magnetickú indukciu v bode, ktorý je od vodiča vzdialený r = 5 cm. Predpokladáme, že vodič je dlhý, rovný a pole je vo vákuu alebo vzduchu.

Riešenie:

Prevedieme jednotky na SI, teda:

5 cm = 0,05 m

Použijeme vzorec pre indukciu okolo dlhého priameho vodiča:

B = (μ₀ * I) / (2πr) = (4π×10⁻⁷ * 20) / (2π * 0,05) = 8 * 10⁻⁵ T

Výsledok:

Magnetická indukcia v bode vzdialenom 5 cm od priameho vodiča, ktorým preteká prúd 20 A, má veľkosť 8 * 10⁻⁵ T (0,00008 T = 80 μT). Pre porovnanie je to približne 1,7 násobok magnetického poľa Zeme na Slovensku (asi 48 μT).

Použitie magnetickej indukcie vodiča s prúdom

Výpočet magnetickej indukcie okolo vodiča má praktické využitie v mnohých oblastiach:

návrh vodičov, zberníc, rozvodov a vysokoprúdových systémov,
analýza magnetických polí v okolí napájacích vodičov,
kalibrácia tzv. Hallových sond a magnetometrov,
posúdenie magnetických polí v blízkosti silových káblov,
názorné pochopenie vzniku magnetického poľa elektrickým prúdom.

Čo je magnetická indukcia cievky

Magnetická indukcia cievky (solenoidu) je veľkosť magnetického poľa vytvoreného prúdom prechádzajúcim cievkou, ktorá má určitý počet závitov a dĺžku.

Vyjadruje, ako silné magnetické pole vznikne vo vnútri cievky, ak vodičom preteká elektrický prúd.

Na koncoch cievky je pole mierne nehomogénne. Vo vnútri dlhej cievky je pole takmer homogénne – jeho veľkosť a smer sú v celom vnútornom priestore cievky prakticky rovnaké. Smerom ku koncom cievky pole slabne a priamo na jej koncoch je magnetická indukcia približne polovičná.

Magnetická indukcia je vektorová veličina, meraná v jednotkách tesla (T). Vo vnútri cievky smeruje vektor B pozdĺž osi cievky. Jeho orientáciu určíme Ampérovým pravidlom pravej ruky: ak prsty pravej ruky ukazujú smer prúdu v závitoch, vztýčený palec ukazuje smer magnetickej indukcie.

Ako vypočítať magnetickú indukciu cievky

Do kalkulačky zadáme tri zo štyroch hodnôt:

počet závitov cievky (N) – celé číslo väčšie ako 0,
elektrický prúd vo vodiči (I) – jednotky ampér (A) alebo miliampér (mA),
dĺžku cievky (l) – jednotky mm, cm, dm alebo m (musí byť väčšia ako 0),
magnetickú indukciu (B) – v μT, mT alebo T; zadáme ju, ak chceme dopočítať prúd, počet závitov alebo dĺžku,
klikneme na tlačidlo „Vypočítať„,
kalkulačka vypočíta magnetickú indukciu alebo neznámu veličinu podľa vzorca.

Vzorec pre magnetickú indukciu cievky

Magnetickú indukciu cievky vypočítame podľa vzorca:

B = (μ₀ * N * I) / l

Kde:

B – magnetická indukcia (T),
μ₀ – magnetická konštanta (μ₀ = 4π×10⁻⁷ N/A²),
N – počet závitov cievky,
I – prúd vo vodiči (A),
l – dĺžka cievky (m).

Vzorec platí pre dlhú cievku bez jadra (so vzduchom vo vnútri), ktorej dĺžka je výrazne väčšia ako jej priemer – aspoň približne desaťkrát. Pri krátkej cievke je skutočná indukcia v strede menšia, než ukáže vzorec, a pri cievke so železným jadrom naopak mnohonásobne väčšia.

Príklad pre výpočet magnetickej indukcie cievky

Cievka má 200 závitov, dĺžku 0,5 m a prechádza ňou prúd 2 A. Vypočítajme magnetickú indukciu.

Riešenie:

Doplníme hodnoty do vzorca:

B = (4π×10⁻⁷ * 200 * 2) / 0,5 = 4π×10⁻⁷* (400 / 0,5) = 4π×10⁻⁷ * 800 ≈ 1,005 * 10⁻³ T (približne 1 mT)

Výsledok:

Vo vnútri tejto cievky vzniká magnetické pole s indukciou približne 1 mT, ak vodičom preteká prúd 2 A. To je približne 20-krát viac ako magnetické pole Zeme.

Použitie magnetickej indukcie cievky

elektromagnety – silné magnetické pole, ktoré sa dá zapnúť, vypnúť a regulovať prúdom (napr. zdvíhacie elektromagnety na šrotoviskách),
relé a stýkače – cievka pritiahne kotvu a zopne kontakty,
elektromotory a generátory – vinutia rotora a statora vytvárajú magnetické pole,
snímače prúdu, polohy a pohybu (napr. indukčné snímače),
prístroje magnetickej rezonancie (MR) v nemocniciach – supravodivé cievky vytvárajú pole s indukciou 1,5 až 3 T,
výučba fyziky – demonštrácia homogénneho magnetického poľa a závislosti B od N, I a l.

Typické hodnoty magnetickej indukcie

Zdroj magnetického poľa	Magnetická indukcia
Magnetické pole Zeme na Slovensku	približne 48 μT
Vodič s prúdom 10 A vo vzdialenosti 10 cm	20 μT
Magnetka na chladničku	približne 5 mT
Cievka z príkladu vyššie (200 závitov, 0,5 m, 2 A)	približne 1 mT
Neodýmový magnet (pri povrchu)	0,5 až 1,3 T
Prístroj magnetickej rezonancie (MR)	1,5 až 3 T

Prevod jednotiek magnetickej indukcie

1 T = 1 000 mT = 1 000 000 μT,
1 mT = 0,001 T = 1 000 μT,
1 μT = 0,000 001 T.

V starších publikáciách a v parametroch magnetov sa ešte stretnete s jednotkou gauss (G), ktorá nepatrí do sústavy SI: 1 G = 10⁻⁴ T = 0,1 mT. Magnetické pole Zeme má teda približne 0,5 G.

Najčastejšie chyby pri výpočte

vzdialenosť alebo dĺžka v centimetroch dosadená do vzorca bez prevodu na metre (kalkulačka prevod robí automaticky),
zámena μT a mT – rozdiel je 1 000-násobný,
výpočet sin α na kalkulačke prepnutej na radiány namiesto stupňov,
použitie vzorca pre dlhú cievku pri krátkej cievke alebo pri cievke so železným jadrom.

Najčastejšie kladené otázky (FAQ)

Prečo sa magnetická indukcia meria v tesla (T)?

Jednotka tesla bola zavedená na počesť Nikolu Teslu (1856 – 1943) a vyjadruje, aké intenzívne je magnetické pole. Ako jednotka sústavy SI bola prijatá v roku 1960. Pomáha porovnávať rôzne magnetické zdroje, od slabých magnetov až po elektromagnety používané v priemysle.

Ako ovplyvňuje vzdialenosť od vodiča veľkosť magnetickej indukcie?

Magnetická indukcia klesá so zväčšujúcou sa vzdialenosťou od vodiča, pretože siločiary sa „rozptyľujú“. Čím ďalej od vodiča, tým slabšie pole pôsobí na okolité objekty. Pri priamom vodiči je magnetická indukcia nepriamo úmerná vzdialenosti – v dvojnásobnej vzdialenosti je polovičná.

Môže magnetická indukcia meniť smer?

Áno. Smer magnetickej indukcie závisí od smeru prúdu – ak prúd vo vodiči alebo v cievke otočíme, otočí sa aj smer magnetického poľa. Pri striedavom prúde v domácej sieti (50 Hz) mení prúd smer 100-krát za sekundu, a preto aj magnetické pole okolo vodiča neustále mení smer.

Prečo je pri výpočte magnetickej indukcie dôležitý uhol medzi prúdom a siločiarami?

Uhol určuje, aká časť vodiča leží kolmo na indukčné čiary. Ak je vodič rovnobežný s indukčnými čiarami (α = 0°), pole naň nepôsobí žiadnou silou, pretože sin 0° = 0. Pri kolmej polohe (α = 90°) je sila najväčšia.

Je magnetická indukcia rovnaká vo všetkých častiach cievky?

Nie. Vo vnútri dlhej cievky je pole takmer rovnaké, no smerom ku koncom slabne – priamo na konci dlhej cievky je magnetická indukcia približne polovičná oproti stredu. Kalkulačka počíta hodnotu v strede cievky.

Ako prakticky zistím magnetickú indukciu v laboratóriu?

Najčastejšie sa používa Hallova sonda alebo magnetometer. Tieto prístroje merajú veľkosť a smer magnetického poľa bez priameho kontaktu s vodičom. Orientačne ho zmeriate aj smartfónom – má zabudovaný magnetometer (používa ho kompas) a pomocou aplikácie, napríklad phyphox, zobrazí hodnotu v μT.

Môže magnetická indukcia poškodiť elektronické zariadenia?

Áno, silné magnetické pole môže ovplyvniť kardiostimulátory, magnetické karty alebo klasické pevné disky (HDD). Preto sa do miestnosti s prístrojom magnetickej rezonancie nesmú nosiť kovové predmety. Pamäte SSD a USB kľúče bežné magnety neohrozia a slabé polia vodičov a cievok v domácnosti sú bezpečné.

Prečo je magnetická indukcia dôležitá pri návrhu elektromotorov a generátorov?

Pomáha určiť, aké silné pole vznikne pri danom prúde a počte závitov. To umožňuje optimalizovať výkon, účinnosť a bezpečnosť zariadenia.

Ako sa zmení magnetická indukcia cievky, ak do nej vložím železné jadro?

Výrazne sa zväčší. Feromagnetické jadro (napríklad zo železa alebo z transformátorového plechu) zosilní pole stonásobne až tisícnásobne, podľa materiálu. Vzorec v kalkulačke platí pre cievku bez jadra, preto pri cievke s jadrom ukáže oveľa menšiu hodnotu, než je skutočná.

Ako sa líši indukcia pri priamom vodiči a pri cievke?

Pri priamom vodiči je pole silné len v bezprostrednej blízkosti vodiča, zatiaľ čo pri cievke sa pole koncentruje vo vnútri vinutia a môže byť homogénnejšie a silnejšie pri rovnakom prúde.

Aký je rozdiel medzi magnetickou indukciou a intenzitou magnetického poľa?

Magnetická indukcia B (v tesla) opisuje výsledné magnetické pole vrátane vplyvu prostredia. Intenzita magnetického poľa H (v ampéroch na meter, A/m) závisí len od prúdov, ktoré pole vytvárajú. Vo vákuu a vo vzduchu platí jednoduchý vzťah B = μ₀ * H.

Je magnetické pole elektrických káblov v domácnosti nebezpečné?

Nie. V kábli tečie prúd tam aj späť dvoma vodičmi, takže sa ich magnetické polia takmer vyrušia. V okolí bežných spotrebičov je magnetická indukcia rádovo jednotky μT a so vzdialenosťou rýchlo klesá. Pre sieťovú frekvenciu 50 Hz je referenčná úroveň pre obyvateľstvo 100 μT (odporúčanie Rady EÚ 1999/519/ES); na Slovensku limity expozície upravuje vyhláška MZ SR č. 534/2007 Z. z.

Súvisiace kalkulačky

Ďalšie fyzikálne kalkulačky

Zdroje:

FUKA, Josef – KLIMEŠ, Bohdan – LEPIL, Oldřich – ŠIROKÝ, Jaromír – VANÝSEK, Vladimír – RUDOLF, Vladimír. Fyzika pro III. ročník střední všeobecně vzdělávací školy (pro III. a IV. ročník gymnázia). 208 stran. 9. vydání. Státní pedagogické nakladatelství, n.p., 1965. 14-622-79.
HALLIDAY, David – RESNICK, Robert – WALKER, Jearl, Fundamentals of Physics. 12th edition. Published 2020. 1536 pages. ISBN 978-1-119-77351-1
LING, Samuel J., SANNY, Jeff, MOEBS, William a kol. University Physics Volume 2, kap. 12 Sources of Magnetic Fields. Houston: OpenStax, Rice University, 2016: https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/12-introduction
BIPM. The International System of Units (SI). 9. vyd. Sèvres: Bureau International des Poids et Mesures, 2019: https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure