Obvod pravouhlého trojuholníka (kalkulačka)

Vypočíta obvod pravouhlého trojuholníka na základe zadaných strán, uhla alebo obsahu, aby ste mali všetky potrebné hodnoty pre praktické aj školské výpočty.

Máme odvesny a,b

Máme jednu odvesnu a a preponu c

Máme jednu odvesnu a a uhol β

Máme preponu c a jeden ostrý uhol α

Máme obsah S a jednu odvesnu a

Máme obsah S a preponu c

Máme obe odvesny rovnaké (rovnoramenný trojuholník)

Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

• jeden uhol je pravý (90°),
• stranu oproti pravému uhlu nazývame prepona,
• ostatné dve strany nazývame odvesny.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme odvesny a, b

Do kalkulačky zadáme:

• dĺžku odvesny a,
• dĺžku odvesny b,
• vyberieme merné jednotky dĺžky jednotlivých odvesien (napr. mm, cm, dm, m, …),
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta:
  • medzivýpočet – dĺžku prepony c,
  • obvod pravouhlého trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak máme odvesny a, b

Najprv potrebujeme vypočítať dĺžku prepony c, podľa vzorca Pytagorovej vety:

c = √(a² + b²)

Kde:

• c je dĺžka prepony c,
• a, b sú dĺžky odvesien.

Po vypočítaní dĺžky prepony c dosadíme do vzorca pre výpočet obvodu:

O = a + b + c

Kde:

• O je obvod,
• a, b, c sú strany pravouhlého trojuholníka (dve odvesny a jedna prepona).

Obmedzenia výpočtu:

• dĺžka odvesny a, b > 0.

Príklad na obvod pravouhlého trojuholníka, ak poznáme odvesny a, b

Predstavme si, že máme záhradu, ktorej časť chceme oddeliť dreveným okrasným obrubníkom v tvare pravouhlého trojuholníka.

Vieme nasledujúce údaje:

• kratšia odvesna a = 4 metre,
• dlhšia odvesna b = 5 metrov.

Potrebujeme vedieť, koľko metrov obrubníka potrebujeme zakúpiť na oplotenie.

Riešenie:

Na výpočet obvodu potrebujeme vedieť dĺžku prepony c, ktorú vypočítame dosadením do vzorca:

c = √(4² + 5²) = √(16 + 25) = √41 ≈ 6,40

Medzivýsledok: Vypočítaný dĺžka prepony c je približne 6,40 metra.

Máme všetky potrebné hodnoty pre výpočet obvodu. Dosadíme do vzorca:

O = 4 + 5 + 6,40 = 15,40

Výsledok: Potrebujeme kúpiť približne 15,40 a viac metra okrasného dreveného obrubníka na oplotenie časti záhrady.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme jednu odvesnu a a preponu c

Zadáme:

• dĺžku odvesny a,
• dĺžku prepony c,
• vyberieme mernú jednotku dĺžky pre odvesnu a preponu (napr. cm, dm, m,…)
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta:
  • medzivýsledok – dĺžku odvesny b,
  • obvod pravouhlého trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak máme jednu odvesnu a a preponu c

Pre výpočet obvodu potrebujeme vedieť dĺžky všetkých strán, preto potrebujeme najprv vypočítať dĺžku odvesny b odvodením z Pytagorovej vety:

b = √(c² – a²)

Kde:

• b je odvesna,
• c je prepona,
• a je odvesna.

Následne vypočítame obvod pravouhlého trojuholníka dosadením do klasického vzorca:

O = a + b + c

Obmedzenia výpočtu:

• c > a > 0

Príklad na obvod pravouhlého trojuholníka, ak poznáme jednu odvesnu a a preponu c

Predstavme si, že máme záhon v tvare pravouhlého trojuholníka a potrebujeme ho oplotiť. Má údaje:

• odvesna a = 6 metrov (šírka záhonu),
• prepona c = 10 metrov (najdlhšia strana záhonu).

Potrebujeme vedieť koľko metrov bude mať záhon, aby sme mohli kúpiť dostatočnú dĺžku pletiva a koľko stĺpov, ak vieme, že stĺpy od seba musia byť vzdialené každé 2 metre dĺžky.

Poznámka: Môžete využiť aj ďalšie kalkulačky pre výpočet obvodu, napr. štvorca, obdĺžnika, lichobežníka alebo kruhu.

Riešenie:

Najprv vypočítame dĺžku odvesny b:

b = √(10² – 6²) = √(100 – 36) = √64 = 8

Medzivýsledok: Dĺžka odvesny b je presne 8 metrov.

Obvod vypočítame spočítaním známych dĺžok strán:

O = 6 + 8 + 10 = 24

Výsledok: Potrebujeme kúpiť 24 metrov pletiva na oplotenie a 12 (24 / 2) stĺpov.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme jednu odvesnu a a uhol β

Zadáme:

• dĺžku odvesny a,
• mernú jednotku dĺžky odvesny a (napr. mm, cm, dm,…)
• uhol β pri odvesne a v °
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta:
  • medzivýpočet:
    • dĺžku odvesny b,
    • dĺžku prepony c,
  • obvod pravouhlého trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak máme jednu odvesnu a a uhol β

Pre výpočet obvodu potrebujeme vedieť dĺžky všetkých jeho strán.

Najprv vypočítame odvesnu b využitím vzorca: tan β = b /a a z toho:

b = a * tan β

Kde:

• b je dĺžka odvesny b,
• a je dĺžka odvesny a,
• tan β je tangens uhlu beta, tzn. je to pomer protiľahlej odvesny k priľahlej odvesne.

Následne vypočítame dĺžku prepony c využitím vzorca cos β = a / c a z toho:

c = a / cos β

Kde:

• c je dĺžka prepony c,
• a je dĺžka odvesny a,
• cos β je pomer priľahlej odvesny a k prepone c.

Následne vypočítame obvod klasickým dosadením do vzorca:

O = a + b + c

Poznámka: Každá trigonometrická funkcia ukazuje vzťahy medzi uhlami a stranami trojuholníkov, čo nám umožňuje vypočítať neznáme strany alebo uhly.

Obmedzenie výpočtu:

• 0° < α < 90°

Príklad na obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme jednu odvesnu a a uhol β

Máme pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri C.

• odvesna BC = a = 5 cm,
• uhol pri vrchole B (pri odvesne BC), β = 30°

Vypočítajme obvod takéhoto trojuholníka.

Riešenie:

Vypočítajme druhú odvesnu b = AC podľa vzorca:

b = a * tan β = 5 * tan 30° ≈ 5 * 0,577 ≈ 2,885

Medzivýsledok: Dĺžka odvesny b (BC) je približne 2,885 cm.

Dĺžka prepony c:

c = 5 / cos β ≈ 5 / 0,866 ≈ 5,773

Medzivýsledok: Dĺžka prepony c je približne 5,773 cm.

Obvod vypočítame súčtom všetkých jeho strán:

O = 5 + 2,885 + 5,773 ≈ 13,658

Výsledok: Obvod pravouhlého trojuholníka s odvesnou AC 5 cm a uhlom β = 30°, je približne 13,658 cm.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme preponu c a jeden ostrý uhol α

Zadáme do kalkulačky:

• dĺžku prepony c,
• mernú jednotku prepony c (napr. mm, cm, dm,…),
• uhol α v °,
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta:
  • dĺžku odvesny a,
  • obvod pravouhlého trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak máme preponu c a jeden ostrý uhol α

Pre výpočet obvodu potrebujeme najprv vypočítať dĺžku odvesny a, b. Ak sin α = a / c, potom:

Odvesna a = c * sin α

Kde:

• c je dĺžka prepony c,
• sin α je pomer protiľahlej odvesny k prepone.

Ak cos α = b / c, potom:

Odvesna b = c * cos α

Kde:

• c je dĺžka prepony c,
• cos α je pomer priľahlej odvesny k prepone.

Následne obvod pravouhlého trojuholníka vypočítame sčítaním jeho strán:

O = a + b + c

Obmedzenia výpočtu:

• 0° < α < 90°

Príklad obvodu pravouhlého trojuholníka, ak máme preponu c a jeden ostrý uhol α

V pravouhlom trojuholníku ABC vieme:

• prepona AB (c) = 13 cm,
• uhol pri vrchole A, α = 40°

Vypočítajme:

• odvesny a, b,
• obvod trojuholníka.

Riešenie:

Vypočítajme odvesnu a dosadením do vzorca:

a = 13 * sin 40° ≈ 13 * 0,643 ≈ 8,359

Medzivýsledok: Dĺžka odvesny a je približne 8,359 cm.

Vypočítajme dĺžku odvesny b:

b = 13 * cos 40° ≈ 13 * 0,766 ≈ 9,958

Medzivýsledok: Dĺžka odvesny b je približne 9,958 cm.

O = 8,359 + 9,958 + 13 ≈ 31,317

Výsledok: Obvod pravouhlého trojuholníka je približne 31,317 cm.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme obsah S a odvesnu a

Zadáme:

• obsah pravouhlého trojuholníka S,
• vyberieme jednotku plochy pre obsah (napr. cm², dm², m², …),
• dĺžku odvesny a s jej mernou jednotkou dĺžky (napr. cm, dm, m, …),
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta:
  • dĺžku prepony c,
  • obvod pravouhlého trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak poznáme obsah S a odvesnu a

Najprv potrebujeme vypočítať neznáme strany.

Odvesnu b vypočítame ako:

b = 2S / a

Kde:

• S je obsah pravouhlého trojuholníka,
• a je odvesna a.

Preponu c vypočítame podľa Pytagorovej vety:

c = √(a² + b²)

Kde:

• a, b sú dĺžky odvesien.

Obvod vypočítame sčítaním odvesny a, b a preponou c:

O = a + b + c

Obmedzenia výpočtu:

• 0° < α < 90°

Príklad obvodu pravouhlého trojuholníka, ak poznáme obsah S a odvesnu a

Máme malú ohradu okolo pravouhlého jazierka:

• odvesna a = 5 m,
• obsah S = 30m² – plocha jazierka.

Vypočítajme obvod jazierka pre jeho oplotenie.

Riešenie:

Vypočítame dĺžku odvesny b dosadením:

b = (2 * 30) / 5 = 60 / 5 = 12

Medzivýsledok: dĺžka odvesny b v jazierku je 12 metrov.

Preponu c vypočítame:

c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

Medzivýsledok: Dĺžka prepony c v jazierku je 13 metrov.

Obvod jazierka:

O = 5 + 12 + 13 = 30

Výsledok: Na oplotenie jazierka potrebujeme okolo 30 metrov oplotenia.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme obsah S a preponu c

Do kalkulačky zadáme:

• obsah pravouhlého trojuholníka,
• vyberieme mernú jednotku plochy (napr. cm²,dm², m²,…),
• dĺžku prepony c,
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta:
  • dĺžku odvesny a,
  • dĺžku odvesny b,
  • obvod pravouhlého trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak poznáme obsah S a preponu c

Odvesnu a vypočítame odvodením z Pytagorovej vety:

a = √((c² + √(c⁴ – 16*S²)) / 2)

Kde:

• c je prepona c,
• S je obsah.

Následne vypočítame odvesnu b:

b = 2S / a

Kde:

• a je odvesna a,
• S je obsah pravouhlého trojuholníka.

Obvod vypočítame sčítaním strán podľa klasického vzorca:

O = a + b + c

Obmedzenie výpočtu:

• c > 0,
• S > 0,
• S <= (c² / 4).

Príklad obvodu pravouhlého trojuholníka, ak poznáme obsah S a preponu c

V pravouhlom trojuholníku máme:

• prepona c = 13 cm,
• obsah S = 30 cm².

Vypočítajme obvod trojuholníka.

Riešenie:

Vypočítajme odvesnu a dosadením do vzorca:

a = √((13² + √(13⁴ – 16*30²)) / 2) = √((169 + √(28561 – 14400)) / 2) = √((169 + √(14161)) / 2) = √((169 + 119)) / 2) = √(288/2) = √144 = 12

Medzivýpočet: Odvesna a predstavuje dĺžku 12 cm

Odvesnu b vypočítame dosadením:

b = 2 * 30 / 12 = 60 / 12 = 5

Medzivýsledok: Odvesna b je 5 cm.

Obvod vypočítame sčítaním odvesien a prepony:

O = 12 + 5 + 13 = 30

Výsledok: Obvod pravouhlého trojuholníka so zadanou preponou 13 cm a obsahom 30 cm² je 30 cm.

Ako vypočítať obvod pravouhlého trojuholníka, ak máme obe odvesny rovnaké (rovnoramenný trojuholník)

Zadáme:

• dĺžku odvesien a, b,
• vyberieme jednotku dĺžky (napr. v cm, dm, m, …),
• klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
• kalkulačka vypočíta obvod špeciálneho prípadu rovnoramenného trojuholníka.

Vzorec obvodu pravouhlého trojuholníka, ak obe odvesny sú rovnaké (rovnoramenný trojuholník)

Pre výpočet obvodu potrebujeme vypočítať preponu c:

c = a√2

Kde:

• a je odvesna a (čo je rovnaká ako odvesna b)

Následne obvod vypočítame sčítaním:

O = 2 * a + a√2

Kde:

• O je obvod,
• 2 * a je dvojnásobok odvesny a (lebo a = b),
• a√2 je dĺžka prepony c.

Obmedzenie výpočtu:

• a,b > 0

Príklad obvodu pravouhlého trojuholníka, ak obe odvesny sú rovnaké (rovnoramenný trojuholník)

Máme pravouhlý trojuholník, kde obe odvesny sú rovnaké:

• a, b = 5 cm.

Vypočítajme obvod takého trojuholníka.

Riešenie:

Preponu c vypočítame dosadením do vzorca:

c = 5√2 ≈ 7,07

Medzivýpočet: Dĺžka prepony c je približne 7,07 cm.

Obvod trojuholníka vypočítame sčítaním strán:

O = 2 * a + a√2 = 2 * 5 + 7,07 ≈ 17,07

Výsledok: Obvod takého trojuholníka je približne 17,07 cm.

Často kladené otázky (FAQ)

Súvisiace kalkulačky

• obvod rovnoramenného trojuholníka
• obvod rovnostranného trojuholníka

Zdroje:

• ČERETKOVÁ, Soňa – ŠEDIVÝ, Ondrej – TEPLIČKA, Ivan. matematika pre 8. ročník základnej školy a 3. ročník s osemročným štúdiom. Prvé vydanie 2023. Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s.r.o. ISBN: 978-80-10-04148-0
• ŽABKA, Ján – ČERNEK, Pavol. Matematika pre 8. ročník ZŠ a 3 .ročník gymnázií s osemročným štúdiom, 2. časť. Prvé vydanie, 2012. Orbis Pictus Istropolitana, spol. s.r.o. ISBN: 978-80-8120-125-7
• ŠEDIVÝ, Ondrej – ČERETKOVÁ, Soňa – MALPEROVÁ, Mária, BÁLINT, Ľudovít. Matematika pre 9. ročník základných škôl, 2. časť. Druhé vydanie, 2004. Slovenské pedagogické nakladateľstvo. ISBN: 80-10-00397-2
• Right Angled Triangle: https://www.cuemath.com/geometry/right-angled-triangle/