Povrch kvádra kalkulačka

Vyberte spôsob výpočtu povrchu kvádra podľa toho, ktoré rozmery poznáte, a získajte okamžitý výsledok.

Povrch kvádra – výpočet zo všetkých troch hrán

Povrch kvádra – výpočet zo základne a výšky

Povrch kvádra – výpočet z objemu a dvoch hrán

Povrch kvádra – výpočet z telesovej uhlopriečky a dvoch hrán

Povrch kvádra – výpočet zo súčtu obsahov troch rôznych stien

Čo je kváder a jeho povrch

Kváder je priestorové teleso s tromi rôzne dlhými hranami, ktoré sa navzájom pretínajú pod pravým uhlom. Má šesť obdĺžnikových stien, z ktorých každé dve protiľahlé sú zhodné.

Povrch kvádra predstavuje súčet obsahov všetkých jeho stien. Na jeho výpočet preto stačí poznať dĺžky všetkých troch hrán – označených ako a, b a c.

Na čo je vhodný výpočet povrchu kvádra

Výpočet povrchu kvádra nie je len teoretická úloha zo školy. Tento výpočet sa hodí v rôznych praktických situáciách:

určenie plochy materiálu potrebného na obloženie alebo natretie kvádrových prvkov (napr. betónových blokov, stĺpikov, konštrukcií),
výpočet spotreby farby, fólie alebo tapety pre rôzne krabičky, nádobky alebo modely,
plánovanie 3D projektov, kde je dôležitý presný povrch,
pomáha žiakom pochopiť vzťah medzi rozmermi kvádra a jeho povrchom,
praktický príklad pre úlohy s prevodom jednotiek a reálnymi aplikáciami,
určenie množstva materiálu potrebného pre lakovanie alebo pokovovanie kovových dielov,
optimalizácia spotreby materiálu pri sériovej výrobe kvádrových predmetov.

Ako vypočítať povrch kvádra – výpočet z troch hrán

Postup výpočtu:

zadáme dĺžku hrany a,
zadáme dĺžku hrany b,
zadáme dĺžku hrany c,
zvolíme jednotky dĺžky (napr. mm, cm, dm,…),
klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
kalkulačka vypočíta povrch kvádra vrátane obsahu stien.

Vzorec na povrch kvádra – výpočet z troch hrán

S = 2 * (ab + bc + ac)

Kde:

S je povrch kvádra,
ab, bc, ac sú obsahy stien kvádra,
2 * – ich dvojnásobný súčet tvorí celkový povrch.

Príklad na povrch kvádra – výpočet z troch strán

Máme malú výrobu turistických predmetov a vyrábame malý kovový model kvádra s rozmermi:

a = 4 cm
b = 5 cm
c = 10 cm

Potrebujeme ho natrieť rovnomernou vrstvou syntetickej farby. Predpokladáme, že 130 g farby stačí na 1 m² povrchu. Spočítajme, koľko gramov farby budeme potrebovať na natretie celého kvádra.

Riešenie:

Dosadíme známe hodnoty pre výpočte povrchu kvádra:

S = 2 * (4 * 5 + 5 * 10 + 4 * 10) = 2 * (20 + 50 + 40) = 2 * (110) = 220

Medzivýsledok: Povrch kvádra predstavuje 220 cm².

Ak predpokladáme, že 130g syntetickej farby stačí na 1m², potom prepočítajme jednotky:

220 cm² = 0,022 m²

Spotreba farby = 0,022 * 130 g = 2,86 g

Výsledok: Na natretie jedného kovového kvádra budeme približne potrebovať približne 2,9 g syntetickej farby.

Najčastejšie chyby pri výpočte

zamieňanie objemu a povrchu kvádra – objem sa počíta V=a * b * c, povrch pomocou súčtu obsahov stien,
zadané rozmery v rôznych jednotkách (napr. cm a mm). Odporúča sa vždy previesť všetky rozmery na rovnakú jednotku,
zabudnutie na zdvojnásobenie súčtu stien – niektorí študenti počítajú len ab+bc+ac, no výsledok treba vynásobiť 2.

Ako vypočítať povrch kvádra – zo základne a výšky

Do kalkulačky zadáme:

dĺžku hrany kvádra (a),
dĺžku hrany kvádra (b),
výšku kvádra (dĺžku hrany) (c),
zvolíme jednotky dĺžky (napr. cm, dm, m…),
klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
kalkulačka vypočíta povrch kvádra.

Vzorec na povrch kvádra – zo základne a výšky

S = 2 * ab + 2 *(a +b) * c

Kde:

S = povrch kvádra,
b = dĺžka hrany b,
c = dĺžky hrany (výšky) c,
2 * ab = dvojnásobný obsah základne,
2 *(a +b) * c = súčet obsahov bočných stien.

Povrch kvádra sa skladá z dvoch základní a štyroch bočných stien. Preto vzorec obsahuje 2×obsah základne a súčet obsahov bočných stien.

Príklad na povrch kvádra – zo základne a výšky

Máme betónový stĺpik v stavbe s rozmermi:

základňa predstavuje 20 * 20 cm (základňa a * b),
výška c = 150 cm

Chceme zistiť povrch stĺpika, aby sme vedeli, koľko náteru proti vlhkosti budeme potrebovať na celý povrch.

Riešenie:

Dosadíme hodnoty do vzorca:

S = 2 * (20 * 20) + 2 * (20 + 20) * 150 = 2 * 400 + 2 * 40 * 150 = 12 800

Medzivýsledok: Povrch stĺpika je 12 800 cm².

Predpokladáme, že 1 kg náteru stačí na 10m². Prepočítajme najprv jednotky:

12 800 cm² = 1,28 m²

Spotreba náteru: 1,28 / 10 = 0,128 kg = 128 g

Výsledok: Na natrenie celého betónového stĺpika budeme potrebovať približne 128 g náteru.

Tip: Pri väčších stavbách alebo sériovej výrobe stĺpikov môžete rýchlo odhadnúť celkovú spotrebu náteru vynásobením povrchu jedného stĺpika počtom kusov.“

Ako vypočítať povrch kvádra – výpočet z objemu a dvoch hrán

Do kalkulačky zadáme:

objem kvádra V,
dĺžku hrany a,
dĺžku hrany b,
zvolíme jednotky dĺžky (napr. cm, dm, m…),
klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
kalkulačka vypočíta povrch kvádra.

Vzorec na povrch kvádra – z objemu a dvoch hrán

Najprv musíme urobiť medzivýpočet dĺžky hrany c:

c = V / (a * b)

Kde:

c = dĺžka hrany c,
V = objem kvádra,
ab je povrch základne kvádra.

Následne použijeme klasický vzorec:

S = 2 * (ab + bc + ac)

Príklad na povrch kvádra – z objemu a dvoch hrán

Máme drevenú debničku s rozmermi:

objem (V) = 840 cm³,
hrana a = 7 cm,
hrana b = 6 cm.

Vypočítajme povrch debničky.

Riešenie:

Vypočítajme hranu c dosadením do vzorca:

c = 840 / (7*6) = 840 / 42 = 20 cm

Medzivýsledok: Dĺžka hrany kvádra je 20 cm.

Vypočítajme povrch dosadením do základného vzorca:

S = 2 * (7*6 + 6*20 + 7*20) = 2 * (42 + 120 + 140) = 2 * 302 = 604

Výsledok: Povrch debničky je 604 cm².

Najčastejšie chyby pri výpočte

nesprávne vypočítanie tretieho rozmeru c z objemu,
zabudneme vynásobiť dvojnásobok súčtu stien.

Ako vypočítať povrch kvádra – výpočet z telesovej uhlopriečky a dvoch hrán

Zadáme:

dĺžku telesovej uhlopriečky d,
dĺžku hrany a,
dĺžku hrany b,
zvolíme jednotky dĺžky (napr. cm, dm, m,…),
klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
kalkulačka vypočíta povrch kvádra.

Vzorec na povrch kvádra – z telesovej uhlopriečky a dvoch hrán

Najprv vypočítame tretí rozmer c z Pytagorovej vety pre telesovú uhlopriečku:

c = √(u² – (a² + b²))

Kde:

c = neznáma hrana,
u = telesová uhlopriečka kvádra,
a, b = hrany kvádra,
platí, že u² > a² + b²

Tento vzorec vychádza z Pytagorovej vety pre pravouhlý trojuholník so stranami: uhlopriečka podstavy u_s =√(a² + b²), respektíve u_s² = a² + b².

Teda u² = u_s²+ c² a odtiaľ c² = u² – u_s². Následne c = √(u² – u_s²), teda c = √(u² – (a² + b²)).]

Po vypočítaní c použijeme klasický vzorec pre výpočet povrchu kvádra:

S = 2 * (ab + bc + ac)

Príklad na povrch kvádra – z telesovej uhlopriečky a dvoch hrán

Máme kovový rám kvádra, ktorý bude slúžiť ako základ pre malý stĺpik alebo konštrukciu. Vieme:

telesová uhlopriečka u = 20 cm,
hrana a = 8 cm,
hrana b = 12 cm.

Chceme zistiť celkový povrch rámu.

Riešenie:

Vypočítajme hranu c:

c = √(20² – (8² + 12²)) = √(400 – (64 + 144)) = √(400 – 208) = √92 ≈ 13,86

Medzivýsledok: Hrana c je približne 13,86 cm.

Vypočítajme povrch kvádra:

S = 2 * (8 * 12 + 12 * 13,86 + 8 * 13,86) = 2 * (96 + 166,32 + 110,88) = 2 * 373,2 ≈ 746,4

Výsledok: Povrch rámu je približne 746 cm².

Ako vypočítať povrch kvádra – výpočet zo súčtu obsahov troch rôznych stien

Postup výpočtu:

zadáme obsah steny ab,
zadáme obsah steny bc,
zadáme obsah steny ac,
zvolíme jednotky plochy (napr. mm² cm², dm²,..),
klikneme na tlačidlo „Vypočítať“,
kalkulačka vypočíta celkový povrch kvádra.

Vzorec na povrch kvádra – zo súčtu obsahov troch rôznych stien

Ak označíme obsahy stien ako:

S_ab, S_bc, S_ac

potom povrch kvádra S vypočítame ako:

S = 2 * (S_ab + S_bc + S_ac)

Kde:

S = celkový povrch kvádra,
S_ab, S_bc, S_ac = obsahy troch rôznych stien.

Príklad na povrch kvádra – zo súčtu obsahov troch rôznych stien

Máme plastovú krabičku v tvare kvádra so známymi obsahmi stien:

S_ab = 10 cm²,
S_bc = 8 cm²,
S_ac = 6 cm².

Vypočítajme povrch krabičky.

Riešenie:

Dosadíme známe obsahy stien do vzorca:

S = 2 * (10 + 8 + 6) = 2 * 24 = 48 cm²

Výsledok: Celkový povrch plastovej krabičky v tvare kvádra je 48 cm².

Najčastejšie chyby pri výpočte

zabudneme vynásobiť súčet dvojnásobkom,
použitie rôznych jednotiek pre jednotlivé steny – vždy doporučujeme previesť na rovnaké jednotky,
chybné označenie stien – každý obsah musí zodpovedať inej dvojici hrán.

Najčastejšie kladené otázky (FAQ)

Ako rýchlo zistiť povrch kvádra bez merania všetkých hrán?

Ak poznáme obsahy troch stien alebo telesovú uhlopriečku s dvoma hranami, môžeme použiť špeciálne vzorce, ktoré nám uľahčia výpočet bez priameho merania všetkých rozmerov.

Môžem použiť rovnaký vzorec pre všetky typy kvádrov?

Základný vzorec S = 2(ab + bc + ac) platí pre každý kváder, ale výpočet jednotlivých hrán sa líši podľa dostupných vstupných údajov.

Čo ak sú rozmery v rôznych jednotkách?

Doporučujeme vždy previesť všetky rozmery na rovnakú jednotku pred výpočtom. Naša kalkulačka vypočíta výsledky vo všetkých zvolených jednotkách s ich prepočítaním podľa vstupných jednotiek dĺžky. Napr. ak zadáme hranu a, b v cm a hranu c v metroch, tak kalkulačka vypočíta správny výsledok aj v cm aj v metroch.

Ako odhadnúť spotrebu farby alebo materiálu na kváder?

Po výpočte povrchu kvádra jednoducho prepočítajte jednotky (cm² → m²) a vynásobte odporúčanou spotrebou na m².

Kedy je vhodné použiť výpočet z objemu alebo uhlopriečky?

Používame ho, keď poznáme objem alebo telesovú uhlopriečku a dve hrany, a nie je možné zmerať priamo všetky rozmery kvádra.

Prečo sa výsledok líši pri použití rôznych vstupných údajov?

Povrch kvádra sa mení podľa toho, ktoré rozmery alebo obsahy stien poznáte. Rôzne vzorce využívajú rôzne kombinácie známych hodnôt, takže výsledky sú presné pre daný spôsob výpočtu, nie pre inú kombináciu údajov.

Súvisiace kalkulačky

Povrch kocky

Zdroje:

ŽABKA, Ján – ČERNEK, Pavol. Matematika pre 8. ročník ZŠ a 3. ročník gymnázií s osemročným štúdiom, 1. časť. Orbis Pictus Istropolitana, spol. s.r.o. Prvé vydanie 2013. ISBN 978-80-8120-255-1
ŠEDIVÝ, Ondrej – ČERETKOVÁ, Soňa – MALPEROVÁ, Mária – BÁLINT, Ľudovít. Matematika pre 9. ročník základných škôl, 2. časť. Slovenské pedagogické nakladateľstvo. Druhé vydanie, 2004. ISBN 80-10-00397-2
CSALA, Éva. Matematika ZŠ do vrecka. 3. vydanie, 2015. TAKTIK vydavateľstvo, s.r.o. ISBN 978-80-89530-58-8
ŽABKA, Ján – ČERNEK, Pavol. Matematika pre 7. ročník ZŠ a 2. ročník gymnázií s osemročným štúdiom. Orbis Pictus Istropolitana, spol. s.r.o. Prvé vydanie, 2011. ISBN 978-80-8120-050-2