Trojčlenka
Ako používať trojčlenku
Zadajte ľubovoľné 3 známe hodnoty. Zakliknite, či chcete počítať priamu alebo nepriamu úmeru. Jedno z polí nechajte prázdne a kliknite na „Vypočítať“.
Kalkulačka vypíše výsledok do prázdneho poľa.
Čo je trojčlenka
Jednoduchá trojčlenka je matematický zápis vďaka ktorému vieme vypočítať neznámu hodnotu, keď poznáme zvyšné 3 veličiny (odtiaľ slovo “troj-členka”).
Význam trojčlenky
Trojčlenku využívame hlavne na riešenie slovných úloh, kde potrebujeme vypočítať tzv. priamu alebo nepriamu úmeru.
Ďalšou možnosťou ako využiť trojčlenku je na výpočet percent v prípade, ak vieme, že konkrétne číslo “X” predstavuje 100%, tak potom koľko percent predstavuje číslo “X – 42,44”.
Priama úmernosť
Vyjadruje závislosť dvoch veličín, pričom obe veličiny sa menia v rovnakom pomere. Povedané viac laicky: koľkokrát zväčšíme/zmenšíme jednu veličinu, toľkokrát sa zväčší/zmenší druhá veličina.
Priamu úmeru v našej trojčlenke znázorňujú šípky po stranách a označenie príslušným tlačidlom, ktoré môžeme zmeniť.
Príklady priamej úmernosti:
- V obchode s ovocím sme platili 3,1 eura za 1,24 kg hrozna. Koľko kg hrozna si môžeme kúpiť za 2,85 eura?
- Koľko minút je 1,2 za a) hodiny a za b) sekundy?
- Za tri hodiny a 12 minút sme porýľovali presne 100 m2 záhrady. Na zajtra nám ostalo ešte 65 m2 . Koľko nám bude trvať porýľovať zvyšok, ak budeme pracovať úplne rovnako?
Príklad priamej úmernosti
Predpokladajme, že rýchlosť chôdze osoby je priamo úmerná dĺžke času stráveného chôdzou. Ak osoba prejde vzdialenosť 4 kilometre za 1 hodinu, koľko kilometrov prejde za 2 hodiny?
Ak chceme vidieť riešenie príkladu cez trojčlenku, tak prosím kliknite tu.
Riešenie: V tomto príklade máme dve premenné: rýchlosť chôdze (v kilometroch za hodinu) a čas (v hodinách). Môžeme to vyjadriť vzťahom:
Rýchlosť = Vzdialenosť / Čas
V tomto príklade vieme, že osoba prejde 4 km/hod. Ak chceme zistiť koľko kilometrov osoba prejde za 2 hodiny, tak vieme:
Rýchlosť = 4 km/hod
Čas = 2 hodiny
Teraz môžeme použiť vzťah rýchlosti, vzdialenosti a času a upravíme vzorec tak, aby sme vypočítali našu „neznámu“: vzdialenosť.
Vzdialenosť = Rýchlosť x Čas
Vzdialenosť = 4 km/hod x 2 hodiny = 8 kilometrov
Výsledok: Osoba prejde 8 kilometrov za 2 hodiny za predpokladu, že rýchlosť chôdze je priamo úmerná času strávenému chôdzou.
Nepriama úmernosť
Nepriama úmernosť vyjadruje závislosť dvoch veličín, ktoré sa menia v prevrátenom pomere. Koľkokrát zväčšíme/zmenšíme jednu veličinu, toľkokrát sa zmenší/zväčší druhá veličina.
Nepriamu úmernosť znázorňujú na našej trojčlenke šípky (každá iným smerom) a tlačidlo.
Príklady nepriamej úmernosti:
- Trom koňom vydrží kopa sena na 6 dní. Ako dlho by vydržala táto kopa 2 rovnako hladným koňom?
- Dvoma prítokmi sa naplní bazén za 6 hodín. Za ako dlho sa naplní jedným prítokom?
Príklad nepriamej úmernosti
Predpokladajme, že čas potrebný na vykonanie určitej úlohy je nepriamo úmerný počtu ľudí, ktorí na nej pracujú. Ak 6 pracovníkov dokončí danú úlohu za 8 hodín, koľko hodín by trvalo, ak by na nej pracovalo 9 pracovníkov?
Ak chceme vidieť riešenie príkladu využitím trojčlenky, tak môžeme túto sekciu preskočiť a kliknúť tu.
Riešenie: V tomto príklade máme dve premenné: čas (v hodinách) a počet pracovníkov. Môžeme to vyjadriť vzťahom:
Čas = Konštanta / Počet pracovníkov
V príklade sa uvádza, že 6 pracovníkov dokončí úlohu za 8 hodín, čiže môžeme použiť túto informáciu na výpočet konštanty:
Čas = Konštanta / Počet pracovníkov 8 hodín = Konštanta / 6 pracovníkov
Teraz môžeme vypočítať hodnotu konštanty:
Konštanta = 8 hodín x 6 pracovníkov = 48 hodín
Teraz, keď vieme hodnotu konštanty, môžeme použiť tento vzťah na výpočet času, keď pracuje 9 pracovníkov:
Čas = Konštanta / Počet pracovníkov
Čas = 48 hodín / 9 pracovníkov ≈ 5,33 hodiny
Výsledok: Ak by na danej úlohe pracovalo 9 pracovníkov, tak jej dokončenie by trvalo približne len 5,33 hodiny.
Trojčlenka vzorec (s príkladmi výpočtov)
Vzorec pre výpočet trojčlenky predstavuje rovnicu, v ktorej poznáme 3 veličiny a štvrtá je neznáma.
X…..Y
x…..y
kde: X, x a Y sú tri známe veličiny a „y“ je neznáma veličina, ktorú potrebujeme vypočítať.
Priama úmera vzorec:
X / x = Y / y
y (neznáma) = (Y * x) / X
Z príkladu priamej úmernosti spomenutej vyššie by bol zápis nasledovný (šípky pomyselne smerujú zhora nadol):
1 hod…..4 km
2 hod…..y km
1 / 2 = 4 / y
y = (4 * 2) / 1
y = 8 km
Nepriama úmera vzorec:
X / x = y / Y
y (neznáma) = (X * Y) / x
Z príkladu nepriamej úmernosti spomenutej vyššie by bol zápis nasledovný (šípky pomyselne smerujú jedna zhora nadol a druhá opačne):
6 pracovníkov…..8 hod
9 pracovníkov…..y hod
6 / 9 = y / 8
y = (6 * 8) / 9
y = 5,33 hod
Zdroje:
- ŽABKA, Ján – ČERNEK, Pavol. 2011. Matematika pre 7. ročník ZŠ a 2. ročník gymnázií s osemročným štúdiom. 1. vyd. Bratislava: Orbis Pictus Istropolitana, 2011. 136 s. ISBN 978-80-8120-050-2
- DZURUSOVÁ, Anna – HLÁSNIKOVÁ, Jaroslava – KASENČÁKOVÁ, Mariana – KRAJŇÁK, Vladimír – PODPĚRA, Jan – POLÁČIKOVÁ, Katarína. Hravá matematika – Pracovný zošit pre 7. ročník ZŠ a sekundu GOŠ. 132 s. ISBN 978-80-89530-52-6